English
We develop a new method for studying the asymptotics of symmetric polynomials of representation–theoretic origin as the number of variables tends to infinity. Several applications of our method are presented: We prove a number of theorems concerning characters of infinite–dimensional unitary group and their $q$–deformations. We study the behavior of uniformly random lozenge tilings of large polygonal domains and find the GUE–eigenvalues distribution in the limit. We also investigate similar behavior for Alternating Sign Matrices (equivalently, six–vertex model with domain wall boundary conditions). Finally, we compute the asymptotic expansion of certain observables in the $O(n=1)$ dense loop model.
French
Nous développons une nouvelle méthode pour étudier l’asymptotique des polynômes symétriques d’origine représentation théorique quand le nombre de variables tend vers l’infini. Plusieurs applications de notre méthode seront présentées : Nous démontrons un certain nombre de théorèmes concernant les caractères du groupe unitaire de dimension infinie et leurs $q$–déformations. Nous étudions le comportement des pavages en losange à distributionuniforme et aléatoire de grands domaines polygonaux et nous trouvons la distribution des valeurs propres des GUE à la limite. Nous étudions également le comportement similaire des ASM. Enfin, nous calculons l’expansion asymptotique de certains paramètres observables en $O(n=1)$ modèle de la boucle dense.