English
Deodhar introduced his decomposition of partial flag varieties as a tool for understanding Kazhdan-Lusztig polynomials. The Deodhar decomposition of the Grassmannian is also useful in the context of soliton solutions to the KP equation, as shown by Kodama and the second author. Deodhar components $S_D$ of the Grassmannian are in bijection with certain tableaux $D$ called $\textit{Go-diagrams}$, and each component is isomorphic to $(\mathbb{K}^*)^a ×\mathbb{K})^b$ for some non-negative integers $a$ and $b$. Our main result is an explicit parameterization of each Deodhar component in the Grassmannian in terms of networks. More specifically, from a Go-diagram $D$ we construct a weighted network $N_D$ and its $\textit{weight matrix}$ $W_D$, whose entries enumerate directed paths in $N_D$. By letting the weights in the network vary over $\mathbb{K}$ or $\mathbb{K} ^*$ as appropriate, one gets a parametrization of the Deodhar component $S_D$. One application of such a parametrization is that one may immediately determine which Plücker coordinates are vanishing and nonvanishing, by using the Lindstrom-Gessel-Viennot Lemma. We also give a (minimal) characterization of each Deodhar component in terms of Plücker coordinates.
French
Deodhar a introduit une décomposition des variétés drapeaux pour comprendre les polynômes de Kazhdan-Lusztig. La décomposition de Deodhar des Grassmanniennes est aussi utile dans le contexte des solutions solitons de l’équation KP, ce qui a été établi par Kodama et le deuxième auteur. Les composantes de Deodhar $S_D$ sont en bijection avec certains tableaux $D$ appelés $\textit{diagrammes de Go}$, et chaque composante est isomorphe à $(\mathbb{K}^*)^a ×\mathbb{K})^b$ où $a$ et $b$ sont des entiers positifs. Notre résultat principal est une paramétrisation explicite de chaque composante de Deodhar des Grassmanniennes en termes de réseaux. Plus précisément, à partir d’un diagramme de Go $D$, nous construisons un réseau $N_D$ et sa $\textit{matrice de poids}$ $W_D$, dont les composantes énumèrent les chemins dirigés dans $N_D$. En faisantvarier les poids dans $\mathbb{K}$ ou $\mathbb{K} ^*$, nous obtenons une paramétrisation de la composante de Deodhar $S_D$. Une applicationde cette paramétrisation est que nous pouvons déterminer quelles coordonnées de Plücker s’annulent, en utilisant le lemme de Lindstrom-Gessel-Viennot. Nous donnons aussi une caractérisation minimale de chaque composante en termes de coordonnées de Plücker.