English
We consider the Ehrhart $h^*$-vector for the hypersimplex. It is well-known that the sum of the $h_i^*$ is the normalized volume which equals an Eulerian number. The main result is a proof of a conjecture by R. Stanley which gives an interpretation of the $h^*_i$ coefficients in terms of descents and excedances. Our proof is geometric using a careful book-keeping of a shelling of a unimodular triangulation. We generalize this result to other closely related polytopes.
French
Nous considérons que la Ehrhart $h^*$-vecteur pour la hypersimplexe. Il est bien connu que la somme de la $h_i^*$ est le volume normalisé qui estégal à un nombre eulérien. Le résultat principal est une preuve de la conjecture par R. Stanley qui donne une interprétation des coefficients $h^*_i$ en termes de descentes et excedances. Notre preuve est géométrique à l’aide d’un attention la comptabilité d’un bombardement d’une triangulation unimodulaire. Nous généralisons ce résultat à d’autres polytopes étroitement liés.