English
We develop a diagrammatic categorification of the polynomial ring $\mathbb{Z} [x]$, based on a geometrically-defined graded algebra and show how to lift various operations on polynomials to the categorified setting. Our categorification satisfies a version of the Bernstein-Gelfand-Gelfand reciprocity property, with indecomposable projective modules corresponding to $x^n$ and standard modules to $(x -1)^n$ in the Grothendieck ring. This construction generalizes tocategorification of various orthogonal polynomials.
French
Résumé. Catégorification de l’anneau des polynômes $\mathbb{Z} [x]$, Nous développons une catégorification diagrammatique de l’anneau des polynômes $\mathbb{Z} [x]$, s’appuyant sur une algèbre graduée définie de manière géométrique, et nous décrivons comment on peut relever certaines opérations sur les polynômes dans cette catégorification. Notre catégorification vérifie une version de la réciprocité de Bernstein-Gelfand-Gelfand, avec les modules projectifs indécomposables correspondants à $x^n$ et les modules standards correspondants à $(x - 1)^n$ dans l’anneau de Grothendieck. Cette construction se généralise à certains polynômes orthogonaux.