English
We introduce genomic tableaux, with applications to Schubert calculus. We report a combinatorial rule for structure coefficients in the torus-equivariant $K$-theory of Grassmannians for the basis of Schubert structure sheaves. This rule is positive in the sense of [Anderson-Griffeth-Miller ’11]. We thereby deduce an earlier conjecture of [Thomas-Yong ’13] for the coefficients. Moreover, our rule specializes to give a new Schubert calculus rule in the (non-equivariant) $K$-theory of Grassmannians. From this perspective, we also obtain a new rule for $K$-theoretic Schubert structure constants of maximal orthogonal Grassmannians, and give conjectural bounds on such constants for Lagrangian Grassmannians.
French
Nous introduisons la notion de tableau génomique, pour l’appliquer au calcul de Schubert. Nous énonçons une règle combinatoire pour les coefficients de structure de la $K$-théorie tore-équivariante des grassmanniennes, dans la base définie par les classes des faisceaux structuraux des variétés de Schubert. Cette règle est positive au sens de [Anderson-Griffeth-Miller ’11]. Nous en déduisons une conjecture de [Thomas-Yong ’13]. De plus, notre règle se spécialise en une règle nouvelle pour le calcul de Schubert dans la $K$-théorie (non équivariante) des grassmanniennes. Nous obtenons également une nouvelle règle pour les coefficients de structure de la $K$-théorie des grassmanniennes orthogonales maximales dans la base de Schubert, et nous conjecturons certaines bornes pour ces coefficients dans le cas des grassmanniennes lagrangiennes.