English
We show that the set of cluster monomials for the cluster algebra of type $D_4$ contains a basis of the $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}[x_{1,1},\ldots ,x_{3,3}]$. We also show that the transition matrices relating this cluster basis to the natural and the dual canonical bases are unitriangular and nonnegative. These results support a conjecture of Fomin and Zelevinsky on the equality of the cluster and dual canonical bases. In the event that this conjectured equality is true, our results also imply an explicit factorization of each dual canonical basis element as a product of cluster variables.
French
Nous montrons que l'ensemble des monômes de l'algebre "cluster'' $D_4$ contient une base-$\mathbb{Z}$ pour le module $\mathbb{Z}[x_{1,1},\ldots ,x_{3,3}]$. Nous montrons aussi que les matrices transitoires qui relient cette base à la base canonique duale sont unitriangulaires. Ces résultats renforcent une conjecture de Fomin et de Zelevinsky sur l'égalité de ces deux bases. Si cette égalité s'avérait être vraie, notre résultat donnerait aussi une factorisation des éléments de la base canonique duale.