English
We consider the graded Hopf algebra $NCSym$ of symmetric functions with non-commutative variables, which is analogous to the algebra $Sym$ of the ordinary symmetric functions in commutative variables. We give formulaes for the product and coproduct on some of the analogues of the $Sym$ bases and expressions for a shuffle product on $NCSym$. We also consider the invariants of the hyperoctahedral group in the non-commutative case and a state a few results.
French
Nous considérons l'algèbre de Hopf graduée $NCSym$ des fonctions symétriques en variables non-commutatives, qui est analogue à l'algèbre $Sym$ des fonctions symétriques en variables commutatives. Nous donnons des formules pour le produit et coproduit sur certaines des bases analogues à celles de $Sym$, ainsi qu'une expression pour le produit $\textit{shuffle}$ sur $NCSym$. Nous considérons aussi les invariants du groupe hyperoctaédral dans le cas non-commutatif et énonçons quelques résultats.