• 1 Department of Mathematics and Statistics [Toronto]

[en]
The main purpose of this paper is to show that the multiplication of a Schubert polynomial of finite type $A$ by a Schur function can be understood from the multiplication in the space of dual $k$-Schur functions. Using earlier work by the second author, we encode both problems by means of quasisymmetric functions. On the Schubert vs. Schur side, we study the $r$-Bruhat order given by Bergeron-Sottile, along with certain operators associated to this order. On the other side, we connect this poset with a graph on dual $k$-Schur functions given by studying the affine grassmannian order of Lam-Lapointe-Morse-Shimozono. Also, we define operators associated to the graph on dual $k$-Schur functions which are analogous to the ones given for the Schubert vs. Schur problem.

[fr]
Le but principal de cet article est de montrer que la multiplication d’un polynôme de Schubert de type fini $A$ par une fonction de Schur peut être comprise à partir de la multiplication dans l’espace dual des fonctions $k$-Schur. Les travaux antérieurs par le second auteur, nous permet de coder ces deux problèmes au moyen de fonctions quasi-symétriques. Du côté Schubert vs Schur, nous étudions l’ordre partiel $r$-Bruhat donné par Bergeron-Sottile, ainsi que certains opérateurs associés à cet ordre. Nous donnons une relation entre l’ordre $r$-Bruhat et le graphe de Bruhat sur les fonctions $k$-Schur duales données par l’étude de l’ordre affine grassmannienne de Lam-Lapointe-Morse-Shimozono. En outre, nous définissons des opérateurs associés a ce graphe qui sont analogues à ceux donnés pour le problème Schubert vs Schur.