[en]
The Tamari order is a central object in algebraic combinatorics and many other areas. Defined as the transitive closure of an associativity law, the Tamari order possesses a surprisingly rich structure: it is a congruence-uniform lattice. In this work, we consider a larger class of posets, the Grassmann-Tamari orders, which arise as an ordering on the facets of the non-crossing complex introduced by Pylyavskyy, Petersen, and Speyer. We prove that the Grassmann-Tamari orders are congruence-uniform lattices, which resolves a conjecture of Santos, Stump, and Welker. Towards this goal, we define a closure operator on sets of paths inside a rectangle, and prove that the biclosed sets of paths, ordered by inclusion, form a congruence-uniform lattice. We then prove that the Grassmann-Tamari order is a quotient lattice of the corresponding lattice of biclosed sets.

[fr]
L’ordre Tamari est un objet central dans la combinatoire algébrique et de nombreux autres domaines. Définie comme la fermeture transitive d’une loi d’associativité, l’ordre Tamari possède une structure étonnamment riche: il est un treillis congruence uniforme. Dans ce travail, nous considérons une classe plus large de posets, les ordres Grassmann-Tamari, qui découlent comme un ordre sur les facettes du complexe non-croisement introduit par Pylyavskyy, Petersen, et Speyer. Nous démontrons que les ordres Grassmann-Tamari sont treillis congruence uniformes, ce qui résout une conjecture de Santos, Stump, et Welker. Pour atteindre cet objectif, nous définissons un opérateur de fermeture sur des ensembles de chemins à l’intérieur d’un rectangle, et prouver que les ensembles bifermé de chemins, ordonné par inclusion, forment un réseau de congruence uniforme. Nous démontrons ensuite que l’ordre Grassmann-Tamari est un treillis quotient du treillis correspondant d’ensembles bifermés.