Authors: Anne-Sophie Gleitz ¹

• 1 Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme

[en]
Shapiro and Chekhov (2011) have introduced the notion of generalised cluster algebra; we focus on an example in type $C_n$. On the other hand, Chari and Pressley (1997), as well as Frenkel and Mukhin (2002), have studied the restricted integral form $U^{\mathtt{res}}_ε (\widehat{\mathfrak{g}})$ of a quantum affine algebra $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ where $q=ε$ is a root of unity. Our main result states that the Grothendieck ring of a tensor subcategory $C_{ε^\mathbb{z}}$ of representations of $U^{\mathtt{res}}_ε (L\mathfrak{sl}_2)$ is a generalised cluster algebra of type $C_{l−1}$, where $l$ is the order of $ε^2$. We also state a conjecture for $U^{\mathtt{res}}_ε (L\mathfrak{sl}_3)$, and sketch a proof for $l=2$.

[fr]
Shapiro et Chekhov (2011) ont introduit la notion d'algèbre amassée généralisée; nous étudions un exemple en type $C_n$. Par ailleurs, Chari et Pressley (1997), ainsi que Frenkel et Mukhin (2002), ont étudié la forme entière restreinte $U^{\mathtt{res}}_ε (\widehat{\mathfrak{g}})$ d'une algèbre affine quantique $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ où $q=ε$ est une racine de l'unité. Notre résultat principal affirme que l'anneau de Grothendieck d'une sous-catégorie tensorielle $C_{ε^\mathbb{z}}$ de représentations de $U^{\mathtt{res}}_ε (L\mathfrak{sl}_2)$ est une algèbre amassée généralisée de type $C_{l−1}$, où $l$ est l'ordre de $ε^2$. Nous conjecturons une propriété similaire pour $U^{\mathtt{res}}_ε (L\mathfrak{sl}_3)$ et donnons un aperçu de la preuve pour $l=2$.